Le Fluttuazioni: Coglierle per Guadagnare

In questo capitolo cercheremo di costruire un modello stocastico (cioè statistico) non troppo complicato dell’andamento dei prezzi durante la giornata, facendo alcune semplificazioni che, in veri­tà, non hanno molta rilevanza sull’applicabilità generale del ri­sultato.

Poiché dovremo ricorrere a molta matematica, i non speciali­sti saranno condotti per mano con l’uso dei grafici, che permet­teranno una perfetta comprensione degli argomenti che intendo svolgere.

Innanzitutto, i prezzi non possono variare con continuità, ma solo per salti; ogni salto si chiama tick. Per esempio, sulle Borse europee il tick vale quasi sempre 1 centesimo di euro.

Assumiamo, allora, che ogni variazione di prezzo sia sempre di 1 tick. Se la variazione che effettivamente si rileva è più di 1 tick, per esempio 5, diremo che si sono verificate una di seguito all’altra, velocissimamente, 5 variazioni di 1 tick. Non cambia molto.

Per avere un’idea più precisa, dimensioniamo numericamente questo concetto chiedendoci quante variazioni da 1 tick si verifica­no in una giornata.

Per i titoli molto trattati su New York si può calcolare 1 tick al secondo, mentre per i titoli mediamente trattati in Europa, 1 tick ogni 30 secondi circa.

In definitiva si può pensare che nel corso della giornata si pos­sano osservare da 800 a 25.000 tick per titolo, a seconda del titolo. Per i titoli sottili si osservano livelli molto più bassi di 800.

Si è visto che, quando si scende a livello di tick-by-tick, le varia­zioni di prezzo hanno memoria debolissima, se non proprio nulla, e quindi non costituisce un errore supporre che le variazioni di prezzo siano casuali.

Bisogna, però, fare attenzione: assumendo un’assenza di memo­ria, le ricette che scopriremo saranno valide solo se si opera sul tick-by-tick, perché, come abbiamo visto, campionando a n tick si introduce memoria e quindi le strategie più appropriate tornereb­bero a essere quelle dell’analisi tecnica tradizionale.

Nel caso del tick-by-tick potremo applicare le nozioni sviluppate per il cosiddetto random walk (cammino casuale), che è stato stu­diato fin dagli inizi del secolo scorso ed è quindi ben conosciuto.

Seguiremo qui, adattandolo al nostro caso, un testo classico (Fel­ler, 1968).

Indichiamo con X1 il tick che arriva all’istante j; assumiamo che Xj possa valere solo +1 o —1; il fatto che ogni tick valga 1 centesimo di euro o 1/8 di dollaro non è molto rilevante: a noi interessa solo sapere se abbiamo osservato 1 tick in salita o 1 tick in discesa. Per trasformare poi il tutto in euro o in dollari sarà sufficiente fare una semplice moltiplicazione.

Se facciamo la somma:

Sn = XI + X2 + + Xn

avremo il guadagno (misurato in numero di tick) realizzato fino a quel momento da chi ha comperato un titolo all’istante 1 e lo ha tenuto il fino all’istante n. Per avere il guadagno in euro o in dollari basterà moltiplicare S„ per il valore in euro o in dollari di ogni singolo tick.

Noi possiamo anche pensare che n sia il numero dei tick che arrivano nel corso della giornata, e quindi S„ è quanto si sarebbe guadagnato in quella giornata comperando in apertura e vendendo sull’ultimo tick — non consideriamo le commissioni sia per brevità, sia perché nel trading online sono molto basse.

Chiameremo S„ con il termine equity, seguendo un uso diffuso fra i system trader.

Notate che S„ non è altro che l’ordinata del grafico del prezzo all’istante n, riportato a partire dal prezzo di apertura, con qualche aggiustamento per la scala adottata per il nostro grafico, che è misurata in numero di tick anziché in euro o in dollari.

Fra tutte le analisi possibili in base a questo impianto teorico, ce ne sono molte che hanno un rilievo importante per noi.

La prima riguarda il cosiddetto problema del ritorno all’origine o ritorno a zero.

Di che si tratta?

Osserviamo una sequenza di n tick, dove n può normalmente variare — come abbiamo detto, da 800 a 25.000, e supponiamo di aver comperato in apertura. Qual è la probabilità che nel corso della giornata, diciamo all’istante generico k, Sk valga zero, ossia che il prezzo sia tornato quello di apertura?

Stiamo, in altri termini, cercando la probabilità che all’istante k noi non abbiamo guadagnato nulla.

In tale circostanza saremo combattuti fra la forte tentazione di uscire (per paura di rimetterci) e la tipica considerazione: “Fino ad ora non ci ho rimesso niente, quindi è come se non avessi operato: andiamo avanti e vediamo cosa succede“.

Attenzione: quando diciamo “istante knon stiamo parlando del tempo ordinario, ma del cosiddetto tempo interno; stiamo, cioè, par­lando del k-esimo tick che arriva, indipendentemente da quando arriva (in termini di minuti e secondi). Per dirla in altri termini ancora, dividiamo la giornata in tanti lassi di tempo interno, pari in numero ai tick che si osservano, indipendentemente da quanti secondi passano tra l’arrivo di un tick e l’altro.

La probabilità che cerchiamo è nota; la indichiamo con uk

Tale probabilità è data dalla formula:

uk = P (Sk = O) = Bin (k; k/2) 2′

dove Bin sta a indicare il coefficiente binomiale.

Non preoccupatevi se non sapete o non vi ricordate cos’è un coefficiente bino­miale; per Excel, che più o meno tutti hanno sul loro pc, è una funzione come un’altra e si indica con:

= combinazione (k; k/2)

Al posto di k, ovviamente, nella formula dovrete metterci un numero.

Avrete subito osservato che tale probabilità vale circa il 50%, o poco meno, per k molto piccolo: 1 o 2; quindi scende velocemente e si assesta intorno al 5%, pur continuando a scendere, ma molto len­tamente. Vuol dire ovviamente che dovrete aspettarvi un ritorno a zero quasi immediato della vostra equity.

Avete mai sentito dire — o avete mai detto voi stessi: “Basta che comperi un titolo e subito ci perdo”? Non si tratta di sfortuna: è la legge del caso che abbiamo appena definito, a provocare questo fenomeno.

Si è anche visto che quando k diventa molto grande la proba­bilità si stabilizza, o comunque comincia a scendere molto len­tamente.

Che cosa significa? Che, se passiamo il momento critico dei primi tick che arrivano, la probabilità che la nostra equity si azzeri diventa la stessa man mano che il tempo passa, e soprat­tutto diventa molto bassa. In altri termini, possiamo riuscire a guadagnare anche se non sappiamo praticamente nulla del titolo che abbiamo acquistato!

La circostanza che l’equity possa annullarsi è di grande rilevanza per chi opera in futures, perché quest’ultimo può essere chiamato a reintegrare il margine, e se non ha i soldi… salta.

In realtà, a noi non interessa tanto conoscere la probabilità con la quale all’istante k la nostra equity sarà zero; ci interessa molto di più sapere quando — cioè per quale valore di k — è probabile che la nostra equity si azzeri per la prima volta dopo l’apertura della seduta, perché quello è il primo vero momento di crisi che è necessario superare.

Anche questa probabilità è nota, la si indica con fk .

La formula che definisce tale probabilità è:

fk = uk_2 – uk = 1/(k – 1) Uk

Il primo azzeramento del­l’equity generalmente arriva subito sui primi tick; che lo faccia in seguito è difficile, e la probabilità che arrivi, con l’aumentare di k, diventa estremamente piccola anche per valori di k molto modesti.

A quanto pare tutto va bene, dal momento che un trend, quando è iniziato, sembra proprio tendere a persistere.

Ma noi non ci accontentiamo e intendiamo sapere anche qual è la probabilità che, all’istante m (compreso), l’ultima volta che l’equity si è azzerata sia stato all’istante k (vedremo più avanti perché questo ci interessa). Sembra una frase oscura, ma ve la spiegherò subito.
Questa probabilità, che si indica con ak,m,  è la cosiddetta legge dell’arcoseno, le cui implicazioni sono stupefacenti. La formula di cui abbiamo bisogno è la seguente:
ak,„, = Uk Um_k
dove k ovviamente può variare da O a m.
Per comprendere la legge dell’arcoseno conviene porla in una forma approssimata – con il rischio di commettere un errore molto piccolo – in quanto più comprensibile e gestibile. Precisamente, posto:
xk = k/m
ak,„, [mit (xk (1 – xk)”]-1 dove il simbolo – indica che si è fatta un’approssimazione.

Si conclude che la probabilità è relati-vamente molto alta sia all’inizio sia alla fine delle osservazioni, ma è praticamente inesistente nel corso del processo, e ciò costituisce un’ulteriore dimostrazione del fatto che i trend esistono, ed esistono perfino quando il processo non ha memoria.
Perché questa precisazione?
Che cosa ci si aspetta da una sequenza di tick che arrivano in modo casuale? Che l’equity rimanga un po’ (poco) positiva, poi di-venti negativa, quindi positiva e via di seguito. Tradurre tutto ciò in un grafico dei prezzi, significa che il prezzo resta un po’ (poco) sopra al prezzo d’apertura, poi un po’ sotto, poi ancora un po’ sopra ecc.

Nel caso in cui i tick arrivassero in maniera causale tutto si deci-derebbe all’apertura, e il resto della giornata sarebbe senza storia. Sapendo dall’esperienza, invece, che non è così, la conclusione sarebbe che i tick non possono arrivare in maniera casuale.

In realtà la legge dell’arcoseno dice che anche nel caso in cui i tick arrivassero in maniera casuale, non sarebbe vero che la giornata è senza storia.

Essa spiega, infatti, che, in una sequenza di osservazioni lunga m tick, è molto improbabile che l’ultima visita all’origine (cioè l’ultima volta che l’equity si azzera) avvenga nel bel mezzo della sequenza, mentre è molto più probabile che essa avvenga subito all’inizio, oppure alla fine della sequenza (cioè quando k è circa 1, oppure quando k è circa m). La frase oscura è adesso spiegata.

In altre parole, se iniziate a guadagnare e poi quasi subito la vostra equity si azzera per poi ridiventare positiva, poiché la legge dell’arcoseno si applica all’ultimo ritorno a zero della sequenza, non è affatto vero che probabilmente poco dopo perderete, e poi guada­gnerete di nuovo, e poi riperderete e così via, ma da quel punto in poi è probabile piuttosto che continuerete a guadagnare fino alla fine. Naturalmente questo è vero anche per le perdite.

Ciò significa, inoltre, che i movimenti al rialzo (o al ribasso) dei prezzi persistono (finché non finiscono, certo, cioè fino a quando non si verifica un altro ritorno a zero), e lo fanno perfino in un processo senza memoria.

Questo effetto, dovuto alle fluttuazioni statistiche, è verificabile anche per il giocatore d’azzardo: quando questi dice che è la sua serata fortunata (o sfortunata), in fondo ha ragione. Neanche a lui succede infatti, che un po’ vinca, un po’ perda e poi ancora vinca e così via; quando perde, perde per un po’, così come quando vince, vince per un po’ (tutto sta nello stabilire quanto dura quell’un poI).

Chi si rovina al gioco arriva a tanto perché non conosce la legge dell’arcoseno: dovrebbe continuare a giocare solo se vince, e non per rifarsi“; se perde, dovrebbe smetterla immediatamente dopo due o tre partite.

Vedete che l’intuizione gioca brutti scherzi, quando si tratta di fluttuazioni statistiche.

La distribuzione di probabilità dei fenomeni che stiamo indagando e che ha la seguente formula:

P (X < x) = (2/n) arcsin (x°5)                                                                            O < x < 0,5

P (X < x) = 1 – (2/n) arcsin [(1-x)°°]                                                              0,5 < x < 1

da cui la denominazione di “legge dell’arcoseno“.

La terza colonna della medesima tabella indica la densità di probabilità corri­spondente.

La tabella dei valori di distribuzione dell’arcoseno è molto importante e si legge in questo modo: nella seconda colonna cercate, per esempio, la riga dove è scritto un numero molto vicino a 0,10.

Troverete il valore 0,101082624.

In corrispondenza leggerete nella prima colonna il numero 0,025. Ciò significa che la probabilità che k I m sia inferiore o uguale a 0,025 è il 10,1082624%.

In altri termini, significa che in 10 casi su 100, voi trovere­te che il primo ritorno a zero dell’equity avviene prima che k I m sia uguale a 0,025, ovvero, se m = 25.000 tick, prima che sia k = 25.000 x 0,025 = 625.

Dato che per avere 25.000 tick al giorno occorre che arrivi 1 tick al secondo, noi avremo il primo ritorno a zero dell’equity, in 10 casi su 100, prima di 625/60 = 10 minuti dall’apertura.

Dire che un dato evento succede in 10 casi su 100, può significare in pratica due cose: che su 100 operazioni che facciamo, in 10 ac­cade quell’evento, oppure che su 100 azioni osservate contempora­neamente, per 10 di esse accade il medesimo evento. Scegliete voi il caso che più vi interessa.

Eseguendo lo stesso calcolo per probabilità diverse otteniamo la tabella 18.1.

Tabella 18.1 Probabilità del ritorno a zero

Probabilità dell’ultimo                                               Ore                                                                                                                    Minuti

ritorno a zero

10%0,210
20%0,740
30%1,486
40%2,4144
50%3,5208
60%4,5273
70%5,5331
80%6,3377
90%6,8407

 

Come vedete, in 30 casi su 100 l’ultimo ritorno all’origine è già avvenuto dopo un’ora e mezzo dall’apertura.

Se subito dopo comincerete a perdere, con ogni probabilità con­tinuerete a perdere fino alla fine della seduta, e se guadagnerete, probabilmente continuerete a guadagnare fino alla fine della sedu­ta, perché quello era l’ultimo ritorno all’origine.

solo nel 10% dei casi si può avere, nell’ultima ora, un ultimo ritorno a zero dell’equity.

Ma la statistica che ci è nota è in grado di darci indicazioni anche su quanto tempo. Infatti, la probabilità che nell’intervallo di tempo (interno) che va da O a m tick l’equity rimanga positiva per k tick e negativa per m — k tick (altra frase oscura che vi verrà subito spiegata) è data ancora da akni

Guardando tale figura, vi rendete subito conto che quando k / m è molto grande, ossia quando k è molto vicino a m, la probabilità è altissima, il che vuol dire che per la maggior parte del tempo e nella maggior parte dei casi, il grafico si svolge nella parte positiva, ossia non torna mai al prezzo di apertura; lo stesso dicasi quando k/m è molto piccolo, ossia quando k è molto vicino a zero: il grafico nella maggior parte dei casi, e per la maggior parte del tempo, rimane al di sotto del prezzo di apertura.

In altre parole (e così spieghiamo la frase oscura), è molto più probabile che in m tick il grafico stia al di sopra (o al di sotto) del prezzo di apertura per un numero k di tick molto grande, piuttosto che oscilli attorno al prezzo di apertura; quest’ultimo comportamen­to, anzi, è altamente improbabile.

Questo fenomeno, in analisi tecnica, si esprime con l’assunto che “nel grafico dei prezzi esistono dei trend”.

Si può osservare ancora una volta quanto sia fallace il procedi­mento che si affida all’intuizione, che vorrebbe più probabile l’ipo­tesi dell’oscillazione.

Il fenomeno, dovuto semplicemente alle fluttuazioni statistiche, è del resto perfettamente noto anche sul piano grafico.

Provate a fare un grafico con il vostro foglio di lavoro, in cui ogni incremento di prezzo è casuale, con l’unica condizione che sia limi­tato, per esempio, fra —10% e +10% (che sono limitazioni pratiche normali nei casi reali; in tal modo il vostro grafico avrà un senso).

Per costruire il grafico potete mettere nella cella Al del vostro foglio di Excel la seguente formula:

= SE [CASUALE O < 0,5; 10% * CASUALE 0; —10% * CASUALE 01

Copiate poi la formula in tutte le celle della prima colonna fino, per esempio, alla cella A1000.

Portatevi quindi nella cella B1 e scrivete 10.000. Infine nella cella B2 scrivete:

= bl + a2

e copiate questa formula in tutte le celle della seconda colonna fino alla riga B1000. Ora fate il grafico della seconda colonna.

Pigiate, poi, il tasto F9, così da ottenere un altro grafico casuale.

Come è stato già detto, questi effetti sono sempre sfuggiti agli eco­nomisti accademici, che non hanno considerato la possibilità di metterli in relazione con l’analisi tecnica.

Per esempio Elton e Gruber (1981, pag. 368), con riferimento a grafici come quelli appena visti, ironizzano così: «On a number of occasions we have given students a sequence of random numbers and asked them to predict the next number. The students receive additonal numbers in the series that normally are inconsistent with any hypothesized pattern. Nevertheless, they continue to be­lieve the sequence has a pattern». (“Spesso abbiamo dato a degli studenti una serie di numeri casuali e abbiamo chiesto loro di pre­vedere il numero successivo. Gli studenti ricevevano numeri che non erano coerenti con l’ipotesi di un senso. Ciononstante, continuavano a credere che un senso ci fosse”).

Elton e Gruber, a parte gli errori di consecutio temporum, al­l’epoca erano insegnanti alla New York University, dove tenevano corsi per laureati; tuttavia non avevano letto, o forse non avevano meditato adeguatamente i due volumi di William Feller, il classico tra i classici della statistica, che figura sugli scaffali di ogni biblio­teca fin dagli anni Cinquanta.

Essi non hanno considerato che ciò che era realmente significa­tivo nei loro esperimenti era proprio il fatto che gli studenti conti­nuavano a vedere un senso in una sequenza di numeri che di fatto erano casuali.

Ma riprendiamo il nostro discorso.

Una domanda alla quale vorremmo rispondere è la seguente: data una sequenza di n tick, qual è la probabilità che il valore massimo toccato dalla sequenza sia di r tick, con r positivo? (Chi non ci si raccapezza, prosegua fiducioso).

La probabilità cercata si trova calcolando i seguenti due numeri:

= P {Sr, = r) = Bin (n; (n+r)/2)2

Pn,r+i = P (S„, = r + 1) = Bin (n; (n + r + 1)/2) 2′

e scegliendo quello fra i due che non è zero.

Che uno dei due debba essere zero deriva dal fatto che (n + r)/2 oppure (n + r + 1)/2 non sono interi, e il coefficiente binomiale di un numero non intero è sempre assunto uguale a zero.

Come si vede, su un totale di 100 tick osservati, portare a casa 10 tick è già molto; oltre questa soglia, la probabilità crolla pratica­mente a zero. È il caso, dunque, di accontentarsi.

Infine, esiste una risposta anche a quando è probabile che si verifichi il massimo.

 

Quindi è molto poco probabile che il massimo si verifichi a metà seduta; la massima probabilità è che si verifichi all’inizio oppure alla fine della seduta stessa.

Per concludere, possiamo dire che:

  • quando si osservano i grafici tick-by-tick, per la maggior parte dei titoli è molto probabile che ciò che deve accadere accada nelle primissime battute o verso la fine della seduta; per il resto della giornata i trend tenderanno a svilupparsi in modo più o meno regolare;
  • se nelle prime battute si verifica un massimo relativo (cioè una cuspide, con la punta verso l’alto), è molto probabile che si tratti del massimo della giornata, e sarà quindi bene mettersi corti, cioè al ribasso, per esempio acquistando una put (Di Lorenzo, 2005b, 2006a e 2006b);
  • se nelle prime battute si verifica un minimo relativo (cioè una cuspide, con la punta verso il basso), è molto probabile che si tratti del minimo della giornata, e sarà quindi bene mettersi lunghi, cioè al rialzo, per esempio acquistando una cali (Di Lo­renzo, 2005b, 2006a e 2006b), oppure semplicemente acquistan­do il titolo;
  • se avete aperto una posizione, sappiate che è molto probabile che subito dopo si possa subire una perdita; aspettate qualche tick per vedere se il mercato vi dà ragione o no;
  • se cominciate a guadagnare su una posizione, accontentatevi di pochi tick; i trend sul tick-by-tick, nel corso della giornata, sono abbastanza piatti, e non vale la pena aspettare la fine della seduta, dal momento che la legge dell’arco-seno, entrando in azione, rende probabili eventuali capovolgimenti di fronte.

 

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